一、一类非线性椭圆边值问题解的性态研究（论文文献综述）
姚纯洁[1]（2021）在《单位圆上一类双调和方程多解的计算方法研究》文中认为非线性四阶椭圆型（双调和）方程起源于弹性薄板理论,被广泛应用于物理、机械工程、生物学及微分几何等领域.本文研究单位圆上非线性双调和方程边值问题多解的数值方法,分两部分:第一部分考虑单位圆域上四阶椭圆型方程Navier边值问题的多个解,方程如下:（?）其中,Ω是单位圆形区域,x是二维向量,q>1,λ∈R和l≥0是给定的参数.首先利用分歧理论和有限差分法计算出单位圆上方程（0.1）的非零解,然后以该问题的非零解作为起点,运用延拓法,延拓方程（0.1）中的分歧参数l,获得方程（0.1）的正解枝,并在延拓过程中寻找原问题潜在的对称破缺分歧点,通过构建扩张系统,精确计算出该分歧点的位置,并利用基于Liapunov-Schmidt约化的解枝转接法,数值计算出单位圆上方程（0.1）多个具有不同对称性质的正解,同时获得原问题的对称破缺分歧图.第二部分考虑单位圆域上四阶椭圆型方程Dirichlet边值问题的多个解,其方程如下:（?）这里,Ω是单位圆形区域,x是二维向量,取参数λ ∈ R,q>1和l≥ 0.首先利用Liapunov-Schmidt约化,分歧理论和有限差分法计算出该区域Ω上方程（0.2）的非零解,然后以非线性问题的非零解作为起点,运用延拓法,延拓方程（0.2）中的分歧参数l,获得方程（0.2）的正解枝,并在延拓过程中寻找原问题潜在的对称破缺分歧点,通过构建扩张系统,精确计算出该分歧点的位置,并利用基于Liapunov-Schmidt约化的解枝转接法,计算出单位圆上方程（0.2）多个具有不同对称性质的正解,同时获得原问题的对称破缺分歧图.数值结果显示本文算法在实际计算中的有效性.最后,全文进行了总结和展望.
霍冠泽[2]（2020）在《求解若干非线性抛物方程的B方法研究》文中指出B方法是近年发展起来的数值求解非线性抛物型偏微分方程中爆破解（b1ow-up so-1ution）的一种高效算法.2015 年,B 方法由 Beck 等[13]提出,旨在求解具有爆破现象的二阶非线性抛物方程,因而以爆破（blow-up）的英文首字母命名.注意到在临近爆破时间时,非线性抛物方程的解具有较大的变化率和数值,其相对于空间导数项对解的扰动是占优的,因而B方法在设计时借助常微分方程理论中常用的变易常数方法,在抽象空间先精确求解对爆破现象起重要作用的非线性常微分方程,再利用变易常数方法将对解的爆破行为影响较小的空间导数部分引入数值格式设计.B方法在设计的过程中充分考虑了解的几何性质,是对传统时间离散格式的改进,可以认为是一种特殊的保持解的几何结构的数值方法.本文主要应用B方法数值求解具有爆破解的四阶非线性抛物方程、二阶对流反应扩散方程和具有猝灭解的二阶非线性抛物方程这三类问题,针对每个具体问题构造相应的数值求解格式,分析数值解的存在唯一性和局部截断误差,并进行数值实验验证所得结论.本文结构如下:第一章,首先对非线性抛物方程的背景和研究近况做简要介绍,概述B方法的提出和发展过程;其次对本文研究的三个数学模型的物理背景及研究现状进行概述;最后,介绍B方法数值格式的构造方法.第二章,首先使用B方法求解具有爆破解的四阶非线性抛物方程,推导相应B方法的多种数值格式,并以其中VCFE格式为例分别给出了 B方法数值解的局部截断误差和相应传统方法（向前Euler法）数值解的局部截断误差,进而通过比较证明了 B方法的局部截断误差小于传统方法的局部截断误差.用B方法的VCBE格式离散四阶非线性抛物方程,得到一族四阶椭圆方程,我们应用上下解理论证明了此方程解的存在唯一性,进而得到VCBE格式数值解的存在唯一性.最后,通过数值算例验证了求解这一问题的B方法数值解的误差在相同条件下小于相应传统方法数值解的误差.第三章,我们运用B方法求解具有爆破解的二阶对流反应扩散方程,推导相应的B方法的多种数值计算格式,以VCFE格式为例,证明了 B方法的局部截断误差小于相应传统方法的局部截断误差.用B方法的VCBE格式离散对流反应扩散方程,得到一族椭圆方程,应用上下解理论证明了此方程解的存在性,进而得到VCBE格式数值解的存在性.并通过数值算例验证了在时间步长相同的情况下,B方法数值解的误差比相应传统方法的数值解误差更小.第四章,将B方法推广到具有猝灭解的二阶非线性抛物方程.首先,我们仍然先精确求解方程的非线性部分,再利用变易常数法的思想,引入方程的线性部分（空间导数部分）,进而推导出B方法的多种数值格式.其次,以VCFE格式为例,证明B方法的局部截断误差小于相应传统方法的局部截断误差,并用B方法的VCBE格式离散二阶非线性抛物方程,得到一族椭圆方程,应用上下解理论证明了此方程解的存在性,进而得到VCBE格式解的存在性.最后,通过数值实验使用B方法对猝灭时间在数值上进行估计,验证B方法对于具有猝灭解的方程数值求解的适用性.第五章,我们对本文工作进行了总结.
李冰[3]（2020）在《几类非线性偏微分方程的长时间性态研究》文中提出本文主要研究了非线性色散方程的孤立波解的稳定性理论,适定性和散射性及一类双流体力学方程的长时间行为.全文共分为五章.第一章为综述,共分为五小节.第一节为本文的研究背景和研究进展.第二,三,四,五节分别给出了本文中研究的模型的背景和研究进展,以及所得到的主要结论.第二章研究广义Boussinesq方程孤立波解的不稳定性.广义Boussinesq方程写为（?）（t,x）∈ R × R,其中0<p<∞.该方程具有行波解φω（x-ωt）,其中频率ω∈（-1,1）并且φω满足-（?）xxφω+（1-ω2）φω-φωp+1=0.Bona和Sachs（1988）证明了当0<p<4,p/4<ω2<1时,行波解妒φω（x-ωt）是轨道稳定的.随后,Liu（1993）证明了在条件0<p<4,ω2<p/4或p>4,ω2<1下,轨道是不稳定的.对于唯一的遗留问题,即退化情形0<p<4,ω2=p/4,我们证明了孤立波解是轨道不稳定的.第三章研究广义导数非线性Schrodinger方程孤立波解的不稳定性.广义导数非线性Schrodinger方程写为#12其中1<σ<2.该方程具有如下形式的双参数孤立波解uω,c（t,x）=eiωt+ic/2（x-ct）-2 2（?）φω,c2σ（y）dyφω,c（x-ct）.频率区间|c|<2（?）上的稳定性理论已经被Liu,Simpson和Sulem（2013）以及Guo,Ning和Wu（2018）等证明.本章,我们证明了在端点情形c=2（?）时,孤立波解是不稳定的.第四章研究非线性Schrodinger方程适定性和散射性.非线性Schrodinger方程写为i（?）tu+Δu=μ|u|pu,（t,x）∈ R1+2,其中μ=±1,p>0.我们证明了若函数,f∈Hs0（R2）（s0<sc）,径向对称且支集远离原点,则存在输入和输出分解f=f++f-,使得以输入部分f+（输出部分f-）为初始值的解在向前（向后）时间内导致局部适定性和小初值散射.第五章研究二维半耗散Boussinesq方程在无应力边界条件下经典解的长时间性态.在Doering,Wu,Zhao和Zheng（2018）工作的基础上,建立了另一种证明方法.为验证新方法的有效性,我们研究了具有密度方差且服从无流动边界条件的相关模型的初边值问题的大初值经典解的长时间性态.
杜亚洁[4]（2020）在《几类带有奇性的奇摄动问题解的渐近性质》文中进行了进一步梳理本文主要利用匹配渐近展开法和微分不等式理论研究若干带有奇性的奇摄动问题。本文主要包括三个部分:第一章绪论部分介绍了本文的研究背景、研究目的,并综述了相关的预备知识。第二章研究了方程的次高阶导数前带有奇性的二阶线性奇摄动边值问题,研究结果表明此类问题具有重边界层现象。并且利用匹配渐近展开法构造出了该方程的形式渐近解,同时,用微分不等式理论证明了渐近解的一致有效性。第三章研究了具有奇性且具有重退化根的一阶非线性初值奇摄动问题。研究结果表明此类问题在边界层处也具有重边界层现象。第四章研究了一类非线性时滞奇摄动边值问题,这类问题的奇性位于区间内部某待定点。研究结果表明此类问题具有激波现象。同时利用匹配渐近展开法构造出了解的形式渐近展开式,并用微分不等式理论证明了形式解的一致有效性。
刘伟[5]（2020）在《非凸问题鞍点计算的新算法及其应用研究》文中研究说明本文研究非凸问题鞍点计算的新算法及其应用,主要内容分为四个部分.第一部分,我们研究计算无约束鞍点的基于新的优化策略的局部极小极大方法（LMM）.首先,我们给出一类推广的局部极小极大原理,并从连续动力学的角度理解LMM能以稳定方式计算不稳定鞍点的数学本质.然后,我们在使用一般下降方向的LMM算法框架下,系统地讨论各种步长搜索准则的可行性,并建立完整的全局收敛性结果.这使得各种高效的优化策略可以应用到LMM算法中.特别地,我们提出全局收敛的Barzilai-Borwein（BB）型LMM、共轭梯度型LMM和L-BFGS型LMM三类新的LMM算法,用于改进传统LMM算法的计算效率.最后,我们将新的LMM算法应用于几类半线性椭圆边值问题、带非线性边界条件的椭圆问题和Kirchhoff型拟线性非局部问题的多解计算,并比较不同LMM算法的数值性能.广泛的数值结果表明,这三类新的LMM算法能显着地提高传统LMM算法的计算效率.第二部分,我们研究计算无约束鞍点的基于新的优化策略的虚拟几何对象型LMM（VGOLMM）.首先,基于对一类广义的VGOLMM动力系统的分析,我们提出使用一般下降方向的广义VGOLMM算法框架,并在这一框架下讨论不同步长搜索准则及相应的全局收敛性.许多高效的优化策略可以用于实现该VGOLMM算法框架.由于BB策略的简单性和高效性,我们提出使用BB型步长的VGOLMM算法.最后,我们将新的VGOLMM算法应用于散焦型非线性Schr?dinger方程和一类Allen-Cahn型奇异摄动Neumann问题的多解计算,得到了丰富的数值结果.数值结果表明,使用BB型步长的VGOLMM算法比原始VGOLMM算法的收敛更快.第三部分,我们研究计算玻色-爱因斯坦凝聚体（BEC）基态解的精确、高效的新算法.BEC的基态解通常定义为相应的Gross-Pitaevskii（GP）能量泛函在某些约束条件下的最小值点,离散归一化梯度流法（GFDN,或虚时间演化法）是计算BEC基态解的最主要的方法之一.我们以单组分BEC和spin-1 BEC模型为例,通过分析和数值实验说明,采用基于GFDN的几种典型时间离散格式计算BEC基态往往会得到误差依赖于时间步长的不准确的结果,这是本文的一个重要发现.为了改进GFDN,我们提出计算BEC基态解的带Lagrange乘子的梯度流法（GFLM）,并证明基于GFLM的各种典型的时间离散格式均能与基态解的Euler-Lagrange方程精确匹配.进一步,我们将GFLM推广到具有挑战性的一般spin-F BEC模型,并研究确定投影常数的方法.由于精确投影方法往往在计算上比较复杂或缺乏投影常数的存在唯一性保证,我们提出两类非精确投影策略,使得投影常数可以直接显式计算,并估计它们的约束违反度.最后,我们给出spin-1,spin-2和spin-3情形的广泛的数值结果以及观测到的一些非常有趣的基态现象.第四部分,我们研究计算约束鞍点的新算法并应用于BEC激发态计算.首先,我们提出计算一般约束鞍点的约束最柔上升动力学（CGAD）方法,证明其稳定平衡点是具有对应指标的约束鞍点,并对一类理想化的CGAD建立约束鞍点附近的局部指数收敛性.然后,我们将CGAD应用到BEC模型的激发态计算.由于BEC的激发态对应于GP能量泛函在某些约束条件下的能量高于基态的临界点,因此GP能量泛函的约束鞍点一定是激发态解.我们应用CGAD计算单组分BEC模型对应的GP能量泛函在单位球面约束下的鞍点,并设计基于（半隐）向后向前Euler时间离散格式和Gram-Schmidt正交规范化过程的高效数值格式.最后,我们基于一维和二维数值实验,发现了一些新的激发态解和有趣的物理现象.
李圆[6]（2020）在《考虑热效应的三维多场耦合裂纹问题研究》文中进行了进一步梳理多场材料指的是具有多场耦合特征的材料,由于能够实现非机械能（热能、电能、磁能、化学能等）与机械能之间的相互转换,吸引了国内外科学及工程领域广泛关注。本学位论文选取几类典型多场材料（热压电材料、热压电半导体、热电磁材料和准晶）为研究对象,在线性理论框架下,考虑到热效应,围绕三维介质内平片裂纹问题,在解析理论和数值方法方面,开展如下工作:1)以热压电材料和热电磁复合材料为对象,研究温度场与电、磁、力场耦合的三维裂纹问题。首先,引入表征介质中裂纹对温度场扰动影响的不连续温度,完善热-电-磁-力耦合下裂纹问题的广义不连续位移体系。然后,运用积分变换方法,结合相关介质三维通解,推导介质内点源广义不连续位移基本解。进而,利用得到的点源基本解和线性叠加原理,建立热压电、热电磁材料三维裂纹问题的广义不连续位移边界积分方程,分析三维断裂问题中不连续温度与其他广义不连续位移的耦合关系。接着,利用超奇异积分方程方法,分析裂纹前沿相关耦合场的奇异性,建立裂纹前沿广义应力强度因子与广义不连续位移的关系表达式。最后,基于常三角形单元离散边界积分方程,提出热压电材料、热电磁复合材料三维裂纹问题的广义不连续位移边界元法,研究多场耦合下椭圆裂纹问题。2)基于裂纹腔内介质的传热与导电性质,建立裂纹面热与电均不可穿透、热与电均可穿透、热可穿透而电不可穿透、热不可穿透而电可穿透、以及热与电均半可穿透的5种三维裂纹模型。理论分析不同裂纹面热电边界条件对相关断裂参数的影响;针对不同裂纹模型,建立相应的广义不连续位移边界元方法。3)利用超奇异积分方程方法,研究热-电-载流子-力耦合热压电半导体介质的三维裂纹问题。以压电材料点力、点电荷基本解和拉普拉斯方程基本解为基础,通过热压电体互等功方程和格林公式,引入不连续载流子,建立有界压电半导体三维裂纹问题的广义不连续位移边界积分方程,得到的边界积分方程应包含待求未知量（广义不连续位移）的裂纹面超奇异积分项、给定边界条件的外边界有界面积分项、以及载流子导致的空间电荷和热载荷相关的有界体积分项。基于裂纹面超奇异积分项,分析广义不连续位移在裂纹边缘的性态以及广义应力场在裂纹前沿的奇异行为,建立以广义不连续位移求解广义应力强度因子的计算表达式。基于压电半导体多场耦合边值问题的“压电-导体”迭代算法,分析圆盘裂纹问题,数值验证理论推导结果的正确性。4)基于广义不连续位移边界积分方程-边界元法,研究准晶三维裂纹问题。考虑热-声子-相位子耦合裂纹问题中引入不连续声子位移、不连续相位子位移和不连续温度,推导二维六方热准晶广义不连续位移基本解,建立广义不连续位移边界积分方程。理论分析裂纹前沿耦合场奇异性,给出包含声子应力、相位子应力和热流密度的广义应力强度因子与广义不连续位移的关系,以及能量释放率与广义应力强度因子关系表达式。5)以广义不连续位移为基本变量,改进Fabrikant势函数方法,考虑热效应,研究二维六方热准晶、一维六方热压电准晶三维裂纹问题。建立相应介质的广义不连续位移边界微分-积分型和超奇异积分型边界控制方程,给出两种边界控制方程的等价性,以及相关系数的等价关系。基于微分-积分型边界控制方程,推导均布载荷相关椭圆裂纹、圆盘裂纹问题的封闭形式的解析解;基于超奇异积分型边界控制型,分析裂纹前沿耦合场的奇异性,给出广义应力强度因子、能量释放率表达式。6)基于广义不连续位移为基本变量的Fabrikant势函数理论,提出一种求解广义不连续位移基本解的方法,推导一维六方热压电准晶介质广义不连续位移点源、单元基本解,提出该介质三维裂纹问题的广义不连续位移法。
邱廷柱[7]（2019）在《一维非线性边值问题有限元p型超收敛算法研究》文中认为有限元法是求解微分方程比较有效的数值计算方法,其具有数值稳定性好、通用性强、适用性广等特点。有限元求解精度依赖于网格和单元阶次,通常情况下有限元计算网格越密,单元次数越高,有限元解的精度就越高,为了获得较高精度的有限元解答,传统有限元求解就需要加密单元网格或者提高单元阶次,这相应地导致了有限元求解计算量的快速增加,由此产生的计算代价是十分巨大的。为了解决有限元求解精度与计算代价之间的矛盾,有限元超收敛计算成了有限元研究领域的重点和热点。理论和数值结果表明,有限元单元端部结点解相对于单元内部解具有更高的精度和收敛阶,即有限元解答中的单元端部结点解具有超收敛特性。对于一维非线性问题,有限元结点解答的超收敛特性也是存在的,本文将基于有限元解答中结点解的超收敛特性,建立一维非线性有限元p型超收敛算法。全文的主要工作如下:一、对一维非线性有限元提出了p型超收敛求解策略。非线性有限元求解统一采用Newton法进行迭代求解,推导了相应的Newton迭代格式。将线性问题p型超收敛计算的思想推广应用于求解非线性问题,将单元端部的有限元解答作为单元的边界条件,利用已求得的有限元解,借助泰勒展开技术对原非线性问题进行线性化,在单个单元上建立单元解近似满足的线性常微分方程边值问题（BVP）,对该局部线性边值问题采用单个高次元进行有限元求解以获得该单元上的超收敛解,对每个单元实施上述过程可获得全域的超收敛解。二、将该策略成功应用于求解四类模型问题。具体包括二阶非线性常微分方程边值问题、四阶非线性常微分方程边值问题、一阶非线性常微分方程组问题、非线性混合阶常微分方程组边值问题,推导了各模型问题的具体格式并成功进行了算法实现（Fortran程序和Maple程序）。三、对四类模型问题进行了大量的数值试验,总结了算法的收敛规律。求解了大量经典问题,对每个问题的有限元解和超收敛解答的收敛阶进行了分析,总结了超收敛解的收敛规律。数值结果表明,本文的超收敛求解方法简单高效,是一个颇具潜力的方法。另外,本文还对非线性边界条件进行了试探性的研究,提出了一套简单高效的非线性边界条件处理办法。最后,对本文工作进行了总结和展望。
孙玉娇[8]（2019）在《具重退化根的奇摄动方程解的渐近性态》文中研究说明本文主要利用边界层函数法和微分不等式理论研究若干类具有重退化根的奇摄动问题。第一章绪论部分介绍了本文的研究背景、研究目的及国内外研究进展,并综述了相关的预备知识。第二章研究了具有幂率衰减边界层的奇摄动问题。考虑具有三重退化根的二阶奇摄动Dirichlet边值问题。利用边界层函数法构造出形式解,得到的边界层函数呈幂率衰减形式,并用上下解方法得到形式解的存在性和一致有效估计。第三章研究了带Neumann边界条件的具重退化根的几类奇摄动问题。由于方程类型的特殊性,研究结果表明,此类问题存在多区边界层,即在靠近边界的区域呈幂率衰减,但最终过渡到指数衰减。针对上述现象,我们在第一节中考虑了具二重退化根的奇摄动常微分方程,利用修正的边界层函数法构造出解的形式渐近展开式,得到带有指数衰减形式的多区边界层函数。最后给出了一个实例分析。在第一节的基础上,第二节考虑具有重退化根的奇摄动反应扩散方程的渐近解,同样采用修正的边界层函数法构造出形式解,并用微分不等式理论证明了解的存在性。第四章研究了具有三重退化根的奇摄动椭圆方程的渐近解。利用边界层函数法构造出了解的形式渐近展开式,并证明了形式解的一致有效性。
邓海云[9]（2020）在《椭圆方程解的临界点集的几何结构及测度估计》文中进行了进一步梳理偏微分方程解的临界点集的研究涉及到数学及工程技术中的许多领域,包括偏微分方程理论,几何测度论,几何分析和图像处理等.解的临界点集的几何结构和测度估计的研究是偏微分方程的重要研究内容,也是当前偏微分方程领域关注的热点和难点问题之一.它们既是解的重要几何特性,又与解的渐近性和增长性等相关,是研究偏微分方程解的一些深刻性态的重要工具之一.本论文研究椭圆方程解的临界点集的几何结构及Hausdorff测度估计.论文分为五部分,具体内容如下.第一部分,我们研究了如下边值条件的平均曲率方程（?）解u的临界点分布,其中f是一个实值函数,Ω分别是Rn（n ≥ 2）中的一个光滑有界的严格凸和非凸区域.平面区域上的主要方法是将关于u的拟线性椭圆方程转变为关于uθ=▽u·θ的线性椭圆方程并讨论解的内部临界点的唯一性及非退化性.另外,我们通过由高维空间到二维平面上的投影,得到了在高维空间中旋转对称的光滑严格凸区域,中心在原点的同心球环区域以及关于某条轴旋转对称的偏心球环区域上解的临界点集的几何分布.第二部分,我们主要考虑了如下两类边值条件的指定平均曲率方程（?）解u的临界点,其中Ω是R2中的一个有界光滑凸区域,n是（?）Ω上的单位外法向量和H,c,α分别是一个正常数.我们利用局部Chen-Huang 比较技巧和在非退化临界点处近似曲面的几何性质证明了在平面区域上解u的临界点的非退化性和唯一性.在第三和第四部分中,我们基于对上（下）水平集{ x∈Ω:u（x）>t（<t）}中连通分支的精细分析和三个“恰好”的事实,研究了平面有界光滑的多连通区域上一类具有非齐次Dirichlet边值条件的拟线性和线性椭圆方程解的临界点分布,分别得到了内部临界点的重数和与边界上局部极大值点的个数关系以及内部奇异点的重数和与边界上零点的个数关系.第五部分,我们对一类线性椭圆方程（?）解u的奇异集进行了新的分类,其中系数aij（x）,bi（x）,c（x）要求满足适当的条件.通过定义j-对称函数及解u的j-对称奇异集,得到了j-对称奇异集的Hausdorff维数和测度估计.
陈恕行[10]（2013）在《高维非线性守恒律方程组》文中进行了进一步梳理本文根据高维非线性守恒律方程组的研究历程将这一领域的研究大体分为四个阶段:局部经典解、具扇状波结构弱解、具花状波结构弱解、整体解与混合型方程.本文据此线索回顾与介绍多年来在该领域所获得的主要成果与进展,并提出今后所面临的一些未解决的重要问题及困难.
二、一类非线性椭圆边值问题解的性态研究（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、一类非线性椭圆边值问题解的性态研究（论文提纲范文）
（1）单位圆上一类双调和方程多解的计算方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 引言 |
| 第2章 计算四阶椭圆型方程Navier边值问题的多解 |
| 2.1 计算单位圆域上四阶椭圆型方程Navier边值问题多个解的分歧方法 |
| 2.1.1 方程的等变性质 |
| 2.1.2 分歧算法具体实现过程 |
| 2.1.3 椭圆型方程的有限差分法 |
| 2.1.4 方程的变号解 |
| 2.2 计算单位圆域上四阶椭圆型方程Navier边值问题多正解 |
| 2.2.1 O(2)对称正解枝的计算 |
| 2.2.2 O(2)对称正解枝上对称破缺分歧点的计算 |
| 2.2.3 ∑对称解枝的转接 |
| 2.2.4 正解的数值结果 |
| 第3章 计算四阶椭圆型方程Dirichlet边值问题的多个解 |
| 3.1 计算单位圆域上四阶椭圆型方程Dirichlet边值问题多个解的分歧方法 |
| 3.1.1 方程的等变性质 |
| 3.1.2 分歧算法流程 |
| 3.1.3 离散方程的有限差分法 |
| 3.1.4 变号解的数值结果 |
| 3.2 计算单位圆域上四阶椭圆型方程Dirichlet边值问题多正解 |
| 3.2.1 对称正解枝的计算 |
| 3.2.2 计算正解枝上对称破缺分歧点 |
| 3.2.3 解枝转接 |
| 3.2.4 数值结果 |
| 第4章 结论与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
（2）求解若干非线性抛物方程的B方法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 模型问题简介 |
| 1.2.1 具有爆破解的四阶非线性抛物方程 |
| 1.2.2 具有爆破解的二阶对流反应扩散方程 |
| 1.2.3 具有猝灭解的二阶非线性抛物方程 |
| 1.3 B方法介绍 |
| 第2章 求解一类具有爆破解的四阶抛物方程的B方法 |
| 2.1 模型问题及其B方法数值格式 |
| 2.2 截断误差分析 |
| 2.3 数值解的存在唯一性 |
| 2.3.1 数值解的存在性 |
| 2.3.2 数值解的唯一性 |
| 2.4 数值实验 |
| 2.4.1 算例1 |
| 2.4.2 算例2 |
| 2.4.3 算例3 |
| 2.5 本章小结 |
| 第3章 求解一类具有爆破解的对流反应扩散方程的B方法 |
| 3.1 模型问题及其B方法数值格式 |
| 3.2 截断误差分析 |
| 3.3 数值解的存在性 |
| 3.4 数值实验 |
| 3.4.1 算例1 |
| 3.4.2 算例2 |
| 3.4.3 算例3 |
| 3.5 本章小结 |
| 第4章 求解一类具有猝灭解的二阶非线性方程的B方法 |
| 4.1 模型问题及猝灭解定义 |
| 4.2 B方法的数值格式 |
| 4.3 截断误差分析 |
| 4.4 数值解的存在性 |
| 4.5 数值实验 |
| 4.5.1 算例1 |
| 4.5.2 算例2 |
| 4.6 本章小节 |
| 第5章 总结 |
| 参考文献 |
| 作者简介及在学期间所取得的科研成果 |
| 致谢 |
（3）几类非线性偏微分方程的长时间性态研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 综述 |
| 1.1 研究背景 |
| 1.2 广义Boussinesq方程孤立波解的稳定性理论 |
| 1.3 广义导数非线性Schr(?)dinger方程孤立波解的稳定性理论 |
| 1.4 非线性Schr(?)dinger方程的粗糙解 |
| 1.5 二维半耗散Boussinesq方程的长时间性态 |
| 第二章 广义Boussinesq方程退化情形的孤立波解的不稳定性 |
| 2.1 基本定义和性质 |
| 2.2 强制性 |
| 2.3 调制稳定性 |
| 2.4 参数的动力学行为 |
| 2.5 局部化的维里恒等式 |
| 2.6 证明定理1.2.1 |
| 2.6.1 维里恒等式 |
| 2.6.2 I'(t)的结构 |
| 2.6.3 主要部分的正性 |
| 2.6.4 ‖(?) |_(H~1×L~2)的上界 |
| 2.6.5 证明 |
| 第三章 广义导数非线性Schr(?)dinger方程端点情形孤立波解的不稳定性 |
| 3.1 预备知识 |
| 3.1.1 记号 |
| 3.1.2 基本引理 |
| 3.1.3 变分方法 |
| 3.2 负方向和调制性 |
| 3.3 证明定理3.0.1 |
| 3.4 补充证明 |
| 第四章 二维非线性Schr(?)dinger方程的粗糙解 |
| 4.1 预备知识 |
| 4.1.1 记号 |
| 4.1.2 基本引理 |
| 4.1.3 线性Schr(?)dinger算子 |
| 4.2 输入/输出波 |
| 4.2.1 输入/输出波的定义 |
| 4.2.2 输入/输出函数的基本性质 |
| 4.3 证明定理4.0.1 |
| 4.3.1 修正的输入/输出部分的定义 |
| 4.3.2 证明 |
| 第五章 二维半耗散Boussinesq方程的长时间性态 |
| 5.1 命题5.0.1的简化证明 |
| 5.2 证明定理5.0.1 |
| 5.2.1 一致估计 |
| 5.2.2 ‖u(·,t)‖_(H~1)和‖(?)_tu(·,t)‖的衰减 |
| 5.2.3 高阶正则性 |
| 结论 |
| 展望 |
| 参考文献 |
| 发表论文和参加科研情况说明 |
| 致谢 |
（4）几类带有奇性的奇摄动问题解的渐近性质（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景与进展 |
| 1.2 研究目的 |
| 1.3 预备知识 |
| 第二章 带有奇性的二阶线性奇摄动边值问题 |
| 2.1 形式渐近解的构造 |
| 2.2 形式渐近解的一致有效性 |
| 2.3 实例仿真 |
| 第三章 具有奇性的一阶非线性奇摄动问题 |
| 3.1 形式渐近解的构造 |
| 第四章 一类非线性时滞奇摄动边值问题的激波解 |
| 4.1 形式渐近解的构造 |
| 4.2 形式渐近解的一致有效性 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 发表成果 |
| 致谢 |
（5）非凸问题鞍点计算的新算法及其应用研究（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 1 绪论 |
| 第二章 基于新的优化策略的局部极小极大方法(LMM) |
| 2.1 推广的局部极小极大原理与LMM的动力学观点 |
| 2.1.1 推广的局部极小极大原理 |
| 2.1.2 LMM的动力学观点 |
| 2.2 使用一般下降方向的LMM算法及其全局收敛性 |
| 2.2.1 使用一般下降方向的LMM算法框架 |
| 2.2.2 标准化Armijo、Goldstein和Wolfe-Powell型搜索准则 |
| 2.2.3 非单调搜索准则 |
| 2.2.4 全局收敛性分析 |
| 2.3 三类高效的LMM算法 |
| 2.3.1 全局收敛的Barzilai-Borwein型LMM(GBBLMM) |
| 2.3.2 共轭梯度型LMM(CGLMM) |
| 2.3.3 L-BFGS型LMM(LBFGSLMM) |
| 2.4 应用于非线性边值问题的多解计算 |
| 2.4.1 半线性椭圆Dirichlet边值问题 |
| 2.4.2 带非线性边界条件的椭圆问题 |
| 2.4.3 Kirchhoff型拟线性非局部问题 |
| 第三章 基于新的优化策略的虚拟几何对象型LMM |
| 3.1 使用虚拟几何对象的LMM(VGOLMM)介绍 |
| 3.2 基于广义VGOLMM动力系统的局部极小极大原理 |
| 3.3 基于新的优化策略的VGOLMM及其全局收敛性 |
| 3.3.1 广义VGOLMM算法框架 |
| 3.3.2 几种典型的搜索准则 |
| 3.3.3 全局收敛性分析 |
| 3.3.4 基于BB型步长的VGOLMM算法 |
| 3.3.5 虚拟曲线的实现方法 |
| 3.4 应用于几类W-型问题的多解计算 |
| 3.4.1 散焦型非线性Schr?dinger方程 |
| 3.4.2 Allen-Cahn型奇异摄动Neumann问题 |
| 第四章 计算玻色-爱因斯坦凝聚体基态解的新算法 |
| 4.1 GFDN方法的局限性及其改进:带 Lagrange乘子的梯度流法(GFLM) |
| 4.1.1 计算单组分BEC基态解的GFDN方法介绍 |
| 4.1.2 计算单组分BEC基态解的GFLM方法 |
| 4.1.3 多组分BEC情形(以spin-1 BEC为例) |
| 4.1.4 spin-1 BEC的数值结果 |
| 4.2 计算一般spin-F BEC基态解的GFLM方法 |
| 4.2.1 一般spin-F BEC的数学模型和一类广义的CNGF |
| 4.2.2 计算一般spin-F BEC基态解的GFLM算法框架 |
| 4.2.3 非精确投影策略及其约束违反度估计 |
| 4.2.4 数值结果 |
| 第五章 计算约束鞍点的新算法和BEC激发态模拟 |
| 5.1 约束鞍点的定义与不稳定性指标 |
| 5.2 计算一般约束鞍点的约束最柔上升动力学(CGAD)方法 |
| 5.2.1 最柔上升动力学(GAD)介绍 |
| 5.2.2 约束最柔上升动力学(CGAD) |
| 5.2.3 计算高指标约束鞍点的CGAD |
| 5.3 应用CGAD方法计算单组分BEC激发态 |
| 5.3.1 线性单组分BEC模型的激发态性质 |
| 5.3.2 计算单组分BEC激发态的CGAD及其离散格式 |
| 5.3.3 数值结果 |
| 总结和未来工作展望 |
| 参考文献 |
| 攻读博士学位期间完成论文情况 |
| 致谢 |
（6）考虑热效应的三维多场耦合裂纹问题研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 研究背景及选题意义 |
| 1.1.1 研究背景 |
| 1.1.2 材料介质中的多场耦合效应 |
| 1.1.3 选题意义 |
| 1.2 考虑热效应多场耦合断裂力学研究现状 |
| 1.2.1 线弹性断裂力学研究内容 |
| 1.2.2 热-电-力耦合热压电材料断裂研究现状 |
| 1.2.3 热-电-载流子-力耦合热压电半导体断裂研究现状 |
| 1.2.4 热-电-磁-力耦合热电磁复合材料断裂研究现状 |
| 1.2.5 热-电-声子-相位子耦合准晶断裂研究现状 |
| 1.3 本文用到的主要研究方法 |
| 1.3.1 不连续位移法 |
| 1.3.2 汉克尔变换法 |
| 1.3.3 超奇异积分方程方法 |
| 1.3.4 Fabrikant势函数方法 |
| 1.4 本文框架结构及研究内容简介 |
| 2 热-电-力耦合三维裂纹问题 |
| 2.1 热压电材料基本方程 |
| 2.2 热压电介质三维裂纹问题描述 |
| 2.3 单位点广义不连续位移基本解 |
| 2.3.1 横观各向同性热压电材料三维通解 |
| 2.3.2 单位点广义不连续位移基本解加载条件 |
| 2.3.3 汉克尔积分变换法推导基本解 |
| 2.4 广义不连续位移边界积分方程方法 |
| 2.4.1 线性叠加构建边界积分方程 |
| 2.4.2 裂纹前沿广义不连续位移性态分析 |
| 2.4.3 裂纹前沿广义应力强度因子 |
| 2.5 热压电介质裂纹面热/电边界模型 |
| 2.5.1 5种裂纹模型对应热/电边界条件的提法 |
| 2.5.2 不同模型的边界积分方程和广义应力强度因子 |
| 2.6 广义不连续位移边界元法 |
| 2.6.1 常三角单元离散边界积分方程 |
| 2.6.2 椭圆裂纹数值结果与讨论 |
| 2.7 本章小结 |
| 3 热-电-载流子-力耦合三维裂纹问题 |
| 3.1 热压电半导体多场耦合基本方程 |
| 3.1.1 非线性方程 |
| 3.1.2 非线性方程的线性化处理 |
| 3.1.3 n型横观各向同性热压电半导体线性化方程 |
| 3.2 有界热压电半导体三维裂纹问题描述 |
| 3.3 有界热压电半导体三维裂纹问题边界积分方程 |
| 3.3.1 空间任意点温度和等效载流子浓度积分表达式 |
| 3.3.2 空间任意点位移和电势积分表达式 |
| 3.3.3 含有体积分的广义不连续位移边界积分方程 |
| 3.4 超奇异积分方程方法分析裂纹前沿耦合奇异场 |
| 3.4.1 裂纹前沿广义不连续位移性态指数 |
| 3.4.2 裂纹前沿广义应力强度因子 |
| 3.5 数值方法研究 |
| 3.5.1 “压电-导体”迭代算法 |
| 3.5.2 圆盘裂纹数值结果 |
| 3.5.3 裂纹前沿广义应力强度因子 |
| 3.6 本章小结 |
| 4 热-电-磁-力耦合三维裂纹问题 |
| 4.1 热电磁介质多场耦合基本方程 |
| 4.2 单位点广义不连续位移基本解 |
| 4.2.1 裂纹面边界条件和广义不连续位移基本解加载条件 |
| 4.2.2 单位点不连续温度基本解 |
| 4.2.3 其他单位点广义不连续位移基本解 |
| 4.3 三维裂纹问题超奇异积分主部分析法 |
| 4.3.1 广义不连续超奇异边界积分方程 |
| 4.3.2 裂纹前沿广义不连续位移性态和广义应力强度因子 |
| 4.4 基于热-弹耦合相关解的类比解法 |
| 4.4.1 热-弹耦合三维裂纹问题边界积分方程 |
| 4.4.2 电-磁-力耦合问题类比解法 |
| 4.4.3 热-力耦合问题类比解法 |
| 4.4.4 圆盘裂纹问题的解析解 |
| 4.5 广义不连续位移边界元法 |
| 4.5.1 边界积分方程离散 |
| 4.5.2 椭圆裂纹数值结果 |
| 4.6 本章小结 |
| 5 热-声子-相位子耦合三维裂纹问题 |
| 5.1 准晶的线弹性理论 |
| 5.2 二维六方热准晶的基本方程 |
| 5.3 二维六方热准晶三维裂纹问题描述 |
| 5.4 理论分析裂纹前沿奇异场 |
| 5.4.1 单位点广义不连续位移基本解 |
| 5.4.2 广义不连续位移超奇异积分型边界控制方程 |
| 5.4.3 裂纹前沿广义应力强度因子与能量释放率 |
| 5.5 典型平片裂纹问题的解析解 |
| 5.5.1 广义不连续位移微分-积分型边界控制方程 |
| 5.5.2 椭圆裂纹问题解析解 |
| 5.5.3 圆盘裂纹相关问题解 |
| 5.5.4 任意形状裂纹问题的类比解法 |
| 5.6 二维六方热准晶广义不连续位移法 |
| 5.6.1 常单元广义不连续位移基本解 |
| 5.6.2 广义不连续位移法 |
| 5.7 数值结果分析与讨论 |
| 5.7.1 广义不连续位移法正确性验证及数值收敛性 |
| 5.7.2 圆盘裂纹受均布热载荷 |
| 5.7.3 椭圆裂纹受均布切向、法向声子和相位子联合载荷 |
| 5.8 本章小结 |
| 6 热-电-声子-相位子耦合三维裂纹问题 |
| 6.1 一维六方热压电准晶基本方程 |
| 6.2 一维六方热压电准晶三维裂纹问题描述 |
| 6.3 三维裂纹问题广义不连续位移边界控制方程 |
| 6.3.1 问题简化 |
| 6.3.2 反对称问题边界微分-积分型边界控制方程 |
| 6.3.3 对称问题边界微分-积分型边界控制方程 |
| 6.3.4 超奇异积分型边界控制方程 |
| 6.4 裂纹前沿奇异场分析 |
| 6.4.1 广义不连续位移性态指数 |
| 6.4.2 广义应力强度因子 |
| 6.4.3 混合裂纹模型能量释放率 |
| 6.5 典型平片裂纹问题解析解 |
| 6.5.1 电-声子-相位子联合载荷椭圆裂纹问题 |
| 6.5.2 热载荷圆盘裂纹问题 |
| 6.6 一维六方热压电准晶广义不连续位移法 |
| 6.6.1 广义不连续位移基本解 |
| 6.6.2 广义不连续位移法 |
| 6.7 椭圆裂纹问题 |
| 6.7.1 解析解与数值解对比 |
| 6.7.2 非均匀载荷数值解 |
| 6.7.3 共面双裂纹数值解 |
| 6.8 本章小结 |
| 7 结论与展望 |
| 7.1 全文总结 |
| 7.2 主要创新点 |
| 7.3 研究展望 |
| 附录 |
| 附录 A 直接离散边界积分方程的常三角单元基本解中的参变函数 |
| 附录 B 圆盘、椭圆裂纹问题相应解析解中的参变函数 |
| 附录 C 常三角单元和矩形单元广义不连续位移基本解中的参变函数 |
| 参考文献 |
| 个人简介及在校期间研究成果 |
| 致谢 |
（7）一维非线性边值问题有限元p型超收敛算法研究（论文提纲范文）
| 摘要 |
| abstract |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 选题背景 |
| 1.2 研究现状 |
| 1.2.1 非线性边值问题数值求解研究现状 |
| 1.2.2 有限元超收敛研究现状 |
| 1.2.3 p型超收敛算法 |
| 1.3 本文的研究目的和内容 |
| 1.3.1 研究目的 |
| 1.3.2 研究内容 |
| 第2章 二阶非线性常微分方程边值问题 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 模型问题 |
| 2.3 有限元求解 |
| 2.3.1 网格划分 |
| 2.3.2 有限元插值 |
| 2.3.3 有限元方程建立 |
| 2.4 超收敛求解 |
| 2.5 误差估计 |
| 2.6 数值算例 |
| 2.7 本章总结 |
| 第3章 四阶非线性常微分方程边值问题 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 模型问题 |
| 3.3 有限元求解 |
| 3.3.1 网格划分 |
| 3.3.2 形函数选取 |
| 3.3.3 有限元方程建立 |
| 3.4 超收敛求解 |
| 3.5 误差分析 |
| 3.6 Euler梁几何非线性问题 |
| 3.6.1 几何方程 |
| 3.6.2 物理方程 |
| 3.6.3 平衡方程 |
| 3.6.4 控制微分方程 |
| 3.7 数值算例 |
| 3.8 小结 |
| 第4章 一阶非线性常微分方程组问题 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 模型问题 |
| 4.3 有限元计算 |
| 4.3.1 单元划分 |
| 4.3.2 有限元插值 |
| 4.3.3 有限元方程建立 |
| 4.3.4 边界条件处理 |
| 4.3.5 有限元解误差 |
| 4.4 超收敛计算 |
| 4.5 超收敛解误差 |
| 4.6 Timoshenko梁几何非线性问题 |
| 4.6.1 几何方程 |
| 4.6.2 物理方程 |
| 4.6.3 平衡方程 |
| 4.6.4 控制微分方程 |
| 4.7 数值算例 |
| 4.8 小结 |
| 第5章 非线性混合阶常微分方程组边值问题 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 模型问题 |
| 5.3 有限元求解 |
| 5.3.1 单元划分 |
| 5.3.2 形函数选取 |
| 5.3.3 有限元方程建立 |
| 5.4 超收敛求解 |
| 5.5 误差估计 |
| 5.6 数值算例 |
| 5.7 小结 |
| 第6章 总结与展望 |
| 6.1 本文工作总结 |
| 6.2 工作展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果 |
（8）具重退化根的奇摄动方程解的渐近性态（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 研究背景与进展 |
| 1.2 研究目的 |
| 1.3 预备知识 |
| 第二章 具有幂率衰减边界层的奇摄动问题 |
| 2.1 渐近解的构造 |
| 2.2 形式解的一致有效性 |
| 第三章 带有Neumann边界条件的具二重退化根的奇摄动问题 |
| 3.1 具二重退化根的奇摄动常微分方程 |
| 3.2 具二重退化根的奇摄动偏微分方程 |
| 第四章 具三重退化根的奇摄动椭圆方程的渐近分析 |
| 4.1 渐近解的构造 |
| 4.2 形式解的一致有效性 |
| 第五章 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 硕士学位期间发表及完成的论文 |
| 致谢 |
（9）椭圆方程解的临界点集的几何结构及测度估计（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 1 绪论 |
| 1.1 椭圆(抛物)方程解的(空间)临界点集的几何结构研究概况 |
| 1.2 椭圆方程解的零点集和临界集的测度估计研究概况 |
| 1.3 本文的主要工作 |
| 1.4 符号说明 |
| 2 严格凸和非凸区域上具有齐次Dirichlet边值条件的平均曲率方程解的临界点分布 |
| 2.1 主要结论 |
| 2.2 u_θ的零点集N_θ和临界集M_θ |
| 2.3 平面区域上解的临界点分布 |
| 2.4 高维空间上解的临界点分布 |
| 3 具有Neumann和Robin边值条件的平均曲率方程解的临界点分布 |
| 3.1 主要结论 |
| 3.2 局部Chen & Huang比较技巧 |
| 3.3 鞍点存在的充分必要条件 |
| 3.4 主要定理的证明 |
| 4 一类非齐次Dirichlet边值条件的拟线性椭圆方程解的临界点的几何结构 |
| 4.1 主要结论 |
| 4.2 单连通区域的情形 |
| 4.3 ψ(x)≥H情形下的多连通区域 |
| 5 多连通区域上一类线性椭圆方程解的临界点和奇异点的几何结构 |
| 5.1 主要结论 |
| 5.2 准备工作 |
| 5.3 定理5.1.1的证明 |
| 5.4 定理5.1.2的证明 |
| 5.5 内部奇异点的几何结构 |
| 6 一类线性椭圆方程解的奇异集分类和Hausdorff测度估计 |
| 6.1 主要结论 |
| 6.2 j-对称奇异集的Hausdorff维数估计 |
| 6.3 j-对称奇异集的Hausdorff测度估计 |
| 致谢 |
| 参考文献 |
| 附录 |
四、一类非线性椭圆边值问题解的性态研究（论文参考文献）
- [1]单位圆上一类双调和方程多解的计算方法研究[D]. 姚纯洁. 上海师范大学, 2021(07)
- [2]求解若干非线性抛物方程的B方法研究[D]. 霍冠泽. 吉林大学, 2020(01)
- [3]几类非线性偏微分方程的长时间性态研究[D]. 李冰. 天津大学, 2020(01)
- [4]几类带有奇性的奇摄动问题解的渐近性质[D]. 杜亚洁. 安徽工业大学, 2020(06)
- [5]非凸问题鞍点计算的新算法及其应用研究[D]. 刘伟. 湖南师范大学, 2020(01)
- [6]考虑热效应的三维多场耦合裂纹问题研究[D]. 李圆. 郑州大学, 2020(02)
- [7]一维非线性边值问题有限元p型超收敛算法研究[D]. 邱廷柱. 清华大学, 2019(02)
- [8]具重退化根的奇摄动方程解的渐近性态[D]. 孙玉娇. 安徽工业大学, 2019(02)
- [9]椭圆方程解的临界点集的几何结构及测度估计[D]. 邓海云. 南京理工大学, 2020(01)
- [10]高维非线性守恒律方程组[J]. 陈恕行. 中国科学:数学, 2013(04)