九点共圆定理论文摘要

问：九点共圆定理的介绍

1. 答：九点共圆定理是培亚敏.俾几提出的应用于几何学的一个定理。概念为三角形三边的中点，三条高的垂足，垂心与各顶点连线的中点这九点共圆。

问：求九点圆定理的推论（好像有5条）

1. 答：1、△ABC九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是△ABC的外接圆半径的1/2
   2、三角形的九点圆与其外接圆是以三角形的垂心为外位似中心，位似比是1:2的位似形，垂心与三角形外接圆上任一点的连结线段被九点圆截乘相等的两部分
   3、△ABC的外心O，重心G，九点圆圆心V，垂心H，这四点共线，且OG:GH=1:2，GV:VH=1:3，或O和V对于G和H都是调和共轭的，即OG/GV=OH/HV
   4、△ABC的九点圆与三角形ABC的外接圆又是以△ABC的重心G为内位似中心，位似比是1:2的位似形
   5、一重心组的四个三角形有一个公共的九点圆；已知圆以已知点为垂心的所有内接三角形有共有的九点圆

问：什么是九点圆？九点圆有什么性质？

1. 答：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），或欧拉圆、费尔巴哈圆. 九点圆是一个更一般的定理：垂心四面体12点共球（各棱的中点，各棱相对于对棱的垂心）的一个特例。当一个顶点被压入所对面的时候，12点的共球就退化为9点共圆。
   九点圆具有许多有趣的性质，例如： 1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半； 2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点； 3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）； 4. 九点圆是一个垂心组（即一个三角形三个顶点和它的垂心，共四个点，每个点都是其它三点组成的三角形的垂心，共4个三角形）共有的九点圆，所以九点圆共与四个内切圆、十二个旁切圆相切。 5. 九点圆心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四点共线，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。 九点圆圆心的重心坐标的计算跟垂心、外心一样麻烦。 设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘，并令c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。 那么重心坐标为：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。